Η θεωρία του Χάους

Posted on Οκτώβριος 21, 2011

0



Η θεωρία του Χάους

Η θεωρία του Χάους ανιχνεύει τα όρια του αιτιατού και του τυχαίου. Στην επιστήμη το χάος χρησιμοποιείται για να περιγράψει την συμπεριφορά συστημάτων με εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές τους συνθήκες. Η ανεξέλεγκτη, απειροελάχιστη μεταβολή στις αρχικές συνθήκες εκδηλώνεται ως χάος-αταξία, αδυναμία πρόβλεψης σε μια κατά τα άλλα αναμενόμενη τακτική και σταθερή φυσική διαδικασία. Τα σύστηματα αυτά, οδηγούνται από έναν «ελκυστή», σε μία κατάσταση που παρουσιάζει μεν μια σταθερότητα στην συμπεριφορά της όμως η πρόβλεψη της είναι αδύνατον να εκφραστεί με αιώνιους νόμους ή ντερμινιστικά.

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι μια τυχαία μορφή που δημιουργείται κατά την ροή ενός ποταμού: η μικρή δίνη μετά από μια πέτρα. Η πέτρα είναι ο ελκυστής, η ροή που έρχεται καθορίζει τις αρχικές συνθήκες, όμως για την δίνη, δεν μπορεί να προβλεφθεί η ακριβής της μορφή. Είναι εκεί, όμως το σχήμα αλλάζει διαρκώς, μερικές φορές μοιάζει να χάνεται, άλλοτε να γίνεται κανονικό, όμως δεν μπορεί να προβλεφθεί ντετερμινιστικά ανά πάσα στιγμή. Την υποτυπώδη αυτή γεωμετρική μορφή οι μαθηματικοί του χάους ονομάζουν παράξενο ελκυστή.

Τα παραδείγματα είναι πολλά: Ο καπνός του τσιγάρου που στροβιλίζεται ανεβαίνοντας. Η ροή του νερού που τρέχει από μια βρύση. Το σχήμα των κυμάτων σε μια ακτή. Ο τρόπος που το μελάνι που διαχέεται σε ένα ποτήρι νερού. Η τυχαία μεταβολή κάποιας ιδιότητας, π.χ. κλίση τροχιάς, εκκεντρότητας τροχιάς ενός πλανήτη. Στη βιολογία, στην κοινωνιολογία, στην οικονομία και στην ιατρική υπάρχουν παρόμοιες εκδηλώσεις χαοτικής συμπεριφοράς. Τα παραδείγματα δεν τελειώνουν εδώ. Χαοτικά συστήματα υπάρχουν παντού. Το απρόβλεπτο των τιμών στο χρηματιστήριο, στα ηλεκτρικά κυκλώματα, στους χτύπους της καρδιάς, στην ροή του νερού ή του αίματος μέσα στους σωλήνες, στην μεταβολή των πληθυσμών στα πουλιά και στα φυτά είναι ορισμένοι τομείς στους οποίους ενυπάρχει το χάος.

Στην δεκαετία του 1970 οι επιστήμονες άρχισαν να προσεγγίζουν την έννοια της αταξίας, με σκοπό να γνωρίσουν τις νομοτέλειές της. Διαπίστωσαν ότι τα ανεξέλεγκτα αυτά φαινόμενα, μπορούν κατά κάποιο τρόπο να περιγραφούν με μη-γραμμικές εξισώσεις. Έτσι άρχισε να αποκαλύπτεται μια κρυφή τάξη που τα ορίζει, να δημιουργούνται οι προϋποθέσεις ώστε να μπορούν να διατυπωθούν προβλέψεις.

Βέβαια η προσέγγιση τέτοιων συστημάτων, ο τρόπος που πρέπει να σταθεί κανείς απέναντί τους για να προβλέψει την εξέλιξή τους και για να καθορίσει την έκβασή τους, προϋποθέτει αναδιαμόρφωση της νοοτροπίας του. Όπως άλλωστε συμβαίνει σε κάθε έναν που διδάσκεται. Η αναγκαιότητα δημιούργησε την θεωρία του χάους.

Μέχρι τα τέλη του προ-περασμένου αιώνα η τροχιά κάθε ουράνιου σώματος που θεωρούνταν περιοδική και κανονική σαν τη κίνηση ενός τέλειου εκκρεμούς, υπολογιζόταν με τη βοήθεια των νόμων του Νεύτωνα και του Κέπλερ.

Ήταν τέλη του 19ου αιώνα, όταν ο μαθηματικός και αστρονόμος Henri Poincare, διαπίστωσε ότι το πρόβλημα συσχετισμού της κίνησης των τριών σωμάτων Ήλιου, Γης και Σελήνης ήταν και παραμένει άλυτο. Ότι δεν μπορεί να προβλεφθεί η τροχιά οποιουδήποτε ουράνιου σώματος που δέχεται την επίδραση δύο η περισσοτέρων άλλων σωμάτων. Η προσπάθεια λοιπόν να υπολογιστεί η τροχιά πχ του Πλούτωνα, δεν είναι δυνατή, αφού δέχεται την επίδραση του Ήλιου και άλλων οκτώ πλανητών. Ο Poincare αποκάλυψε το χάος στο Ηλιακό σύστημα. Είχε κατανοήσει πως πολύ μικρές επιδράσεις μπορούν να μεγεθυνθούν μέσω ανάδρασης. Διατύπωσε την άποψη «Μια ελάχιστη αιτία που διαφεύγει της προσοχής μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα».

Χρειάστηκε να περάσουν 80 χρόνια από τότε για να συνειδητοποιήσουν οι αστρονόμοι και οι υπόλοιποι επιστήμονες τη σπουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης. Το 1954 πρώτος την κατανόησε ο σοβιετικός επιστήμονας A.Kolmogorov και ακολούθησαν και άλλοι.

Στα μέσα του χειμώνα 1961, ο μετεωρολόγος Edward Lorenz εργαζόταν στον υπολογιστή του ΜΙΤ και διαπίστωσε ότι η επανάληψη (iteration) γεννά το χάος. Για να λύσει μη γραμμικές εξισώσεις που περιέγραφαν το μοντέλο της γήινης ατμόσφαιρας, έδωσε δεδομένα με στρογγυλοποιημένους αριθμούς. Ενώ περίμενε την ίδια περίπου πρόγνωση όπως με τους δεκαδικούς αριθμούς, τα νέα αποτελέσματα ήταν τελείως διαφορετικά. Κατάλαβε πως η μεγέθυνση των διαφορών οφείλεται στο συνδυασμό της μη γραμμικότητας και της επανάληψης. Στον Lorenz οφείλεται η θεωρία για την πεταλούδα που πετάει στο Χονγκ-Κονγκ και μπορεί να δημιουργήσει καταιγίδα στη Νέα Υόρκη.

Ξαφνικά οι επιστήμονες συνειδητοποίησαν πως σε αιτιοκρατικά δυναμικά συστήματα, η δυνατότητα γέννησης χάους (μη προβλεψιμότητας) παραμονεύει σε κάθε λεπτομέρεια. Άρχισαν λοιπόν να μελετούν το χάος στην εφαρμοσμένη επιστήμη. Έτσι βρέθηκε μια εκπληκτική τάξη στο χάος που αναπτύσσεται στην ανθρώπινη καρδιά, την κύρια αιτία του απρόσμενου θανάτου. Ερευνήθηκε η εμφάνιση και εξαφάνιση νομαδικών πληθυσμών εντόμων. Εξετάστηκαν οι τιμές προϊόντων συναρτήσει επιρροών που φαίνονται μηδαμινές. Εξετάστηκε το σχήμα των νεφών, οι διαδρομές των αστραπών στον αέρα. Ερευνήθηκε η ομαδοποίηση των άστρων σε γαλαξίες. Και η εφαρμογή του συνεχώς διευρύνεται από την διαστημική έως τη δυναμική των υγρών, τις ακτίνες laser έως τις χημικές αντιδράσεις, από τις τηλεπικοινωνίες (λευκός θόρυβος της γραμμής) έως την νευροφυσιολογία. Αλλά τελευταία ενδιαφέρει τους μουσικούς, τους συγγραφείς, τους ψυχαναλυτές τους εικαστικούς κοκ.

Η ονομασία Θεωρία του Χάους δόθηκε από τον μαθηματικό του Πανεπιστημίου του Maryland Jim York μόλις το 1975.

Η θεωρία του χάους έχει ένα σημαντικό και εξαιρετικά δυσνόητο μαθηματικό φορμαλισμό. Υπάρχει ο ισχυρισμός ότι δεν είναι μια ενοποιημένη θεωρία, αλλά μια μαθηματική πλατφόρμα πάνω στην οποία μπορούν να αναπτυχθούν ερμηνείες φαινομένων. Στα πρώτα βήματα, για να ανοίξει κανείς μια χαραμάδα στην πόρτα που κρύβει πίσω της όλο το μαθηματικό σύμπαν της θεωρίας του χάους υπάρχουν κάποιες απλές μα σημαντικές έννοιες που είναι απαραίτητες στο λεξιλόγιο καθενός που θέλει να μιλήσει σχετικά. Τα βασικά συστατικά του μαθηματικού χώρου που χρησιμοποιεί η θεωρία του χάους είναι οι αναπαραστάσεις φαινομένων σε πολυδιάστατους χώρους, η μη γραμμική συμπεριφορά, η αναδρομή και η επαναληπτικότητα. Σημαντική μαθηματική οντότητα της περιγραφής των χαοτικών συστημάτων είναι οι παράξενοι ελκυστές.

Παράξενοι ελκυστές

Ας πάρουμε για αρχή την κίνηση ενός ιδανικού εκκρεμούς. Μετά από μια ώθηση, παλινδρομεί μέχρι να ηρεμήσει και πάλι στο κέντρο. Η κεντρική αυτή θέση είναι το σημείο έλξης του συστήματος. Σε όποια θέση και αν αφήσουμε το εκκρεμές, θα έλκεται από αυτό το σημείο που ονομάζεται ελκυστής. Στην κλασική λοιπόν μηχανική, η συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος μπορεί να περιγραφεί γεωμετρικά ως κίνηση προς έναν ελκυστή. Οι ελκυστές μπορεί να είναι σημεία, καμπύλες, στερεά που ακριβώς έλκουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Σε ένα ταλαντούμενο σώμα ο ελκυστής είναι το κατώτατο σημείο που σταματάει.

Αντίθετα με το απλό παράδειγμα του ιδανικού εκκρεμούς, τα χαοτικά συστήματα έλκονται προς παράξενα και πολύπλοκα σχήματα. Αυτό είναι σχεδόν αδύνατο να το αντιληφθούμε, δεδομένου ότι αναφερόμαστε σε πολυδιάστατους χώρους για να προσδιορίσουμε τους ελκυστές. Οι ελκυστές των χαοτικών συστημάτων ονομάζονται παράξενοι ελκυστές και είναι οι χώροι από τους οποίους τείνει να λαμβάνει τιμές μια χαοτική συμπεριφορά. Μπορούμε να αντιληφθούμε σε μερικές μόνο περιπτώσεις με τα μάτια ένα αποτύπωμα, μια σκιά των παράξενων ελκυστών στον πραγματικό χωρόχρονο. Για παράδειγμα το σχήμα μιας δίνης στο νερό είναι η εξέλιξη ενός παράξενου ελκυστή στον χρόνο.

Γύρω στο 1960 ανακαλύφθηκε από τον μαθηματικό Stephen Smale μια νέα τάξη παράξενων ελκυστών για τους οποίους διαπιστώθηκε ότι έχουν λεπτομερή δομή σε όλες τις κλίμακες μεγέθυνσης. Παρουσιάζουν δηλαδή αυτοομοιότητα. Σε αυτούς τους ελκυστές δόθηκε η ονομασία fractal.

Ο όρος fractal πλάσθηκε από τον μαθηματικό Benoit Β. Mandelbrot από την λατινική λέξη fractus (θρυμματισμένος ή σπασμένος), για να εκφράσει την ιδέα ενός σχήματος που οι διαστάσεις που χρειάζεται για να αναπαρασταθεί δεν είναι ακέραιος αριθμός και αναπαριστά συναρτήσεις από τα μαθηματικά του χάους. Στα Ελληνικά αποδόθηκε με τον όρο Μορφοκλασματική Καμπύλη από τον καθηγητές Στ. Πνευματικό και Ι. Νίκολη.

Οι υπολογιστές έδωσαν την δυνατότητα να αναπαρασταθούν γραφικά συναρτήσεις και παράξενοι ελκυστές που συναντά κανείς στα μαθηματικά της επιστήμης του χάους. Η πολυπλοκότητα των γραφικών αυτών αναπαραστάσεων απαιτεί σημαντική υπολογιστική ισχύ, παρόλο που τα προγράμματα είναι σχετικά απλά αφού βασίζονται στην επαναληπτικότητα των αλγορίθμων.

Συνήθως όταν ακούμε σχέδια ή σχήματα που προέρχονται από μαθηματικές συναρτήσεις έρχονται στο μυαλό μας κάποια ευκλείδεια γεωμετρικά σχήματα. Τα fractals διαφέρουν από αυτά τα σχήματα τον κύκλο, την έλλειψη το τετράγωνο κλπ. Η λέξη εικόνα σε αντίθεση με την λέξη σχήμα με αυτή την έννοια είναι μάλλον πιο κατάλληλη για να προσδιορίσει τις γραφικές αυτές αναπαραστάσεις.

Αυτοομοιότητα

Ένα χαρακτηριστικό τους ότι είναι όμοια προς εαυτόν. Έτσι αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός fractal θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγεθύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ. Αυτή τους η ιδιότητα ονομάζεται αυτοομοιότητα. Αυτοόμοιο είναι ένα αντικείμενο του οποίου τα μέρη από τα οποία αποτελείται μοιάζουν με το σύνολο. Αυτή η επανάληψη των ακανόνιστων λεπτομερειών ή σχηματισμών συμβαίνει προοδευτικά σε μικρότερες κλίμακες και είναι δυνατόν να συνεχιστεί απεριόριστα έτσι ώστε κάθε τμήμα ενός τμήματος, όταν μεγεθυνθεί, να μοιάζει με το αρχικό σχήμα. Οι fractal εικόνες οπότε είναι ανεξάρτητες από κλίμακα μεγέθους. Αντίθετα με τα ευκλείδεια σχήματα, δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης.

Θεωρητικοί του Χάους

Αμερικανός μετεωρολόγος ο Edward Lorenz, Ασχολήθηκε με ζητήματα καιρικών προγνώσεων. Όταν πέρασε στις αναπαραστάσεις των μαθηματικών εξισώσεων που χρησιμοποιούσε βρέθηκε μπροστά σε μία μορφή που έμοιαζε με καρναβαλίστικη μάσκα του ντόμινο . Κατάλαβε ότι υπήρχε μια κρυμμένη δομή μέσα στο χάος. Μια τάξη στην οποία υπάκουαν τα σύννεφα και οι άνεμοι.
Η δομή αυτή, η «παράξενη έλξη» προέρχεται από το γεγονός ότι η συμπεριφορά των συστημάτων του καιρού, των κυμάτων κλπ δεν είναι απολύτως τυχαία, αλλά συγκεκριμένα οροθετημένη. Είναι δηλαδή ένα χάος ελεγχόμενο – μια παράξενη κατάσταση ανάμεσα στο προβλεπόμενο και το τυχαίο.

Ο Ιλιά Πριγκοζίν από τους πιο σημαντικούς σύγχρονους επιστήμονες (χημικός – μαθηματικός) οδηγήθηκε σε αντίστοιχα συμπεράσματα. Διαπίστωσε ότι οι ζωντανοί οργανισμοί βρίσκουν εν τέλει τάξη και νόμο, ζώντας εξαιτίας και μέσα σε ένα κόσμο που τρεκλίζει. Διατύπωσε ότι αυτή η τάξη προκύπτει από χημικά συστήματα ανισόρροπα και πολύπλοκα – δηλαδή χαοτικά. Ισχυρίστηκε ακόμη ότι οι αλαζονικές κλασικές επιστήμες καταρρίπτονται (το ωρολογιακό σύμπαν του Νεύτωνα, η έννοια της αντιστρεψιμότητας, η γραμμική συμπεριφορά των συστημάτων) κι ότι ασήμαντες επιδράσεις, που οι επιστήμονες ως τώρα θεωρούσαν αμελητέες, μπορεί να εισχωρήσουν στο εσωτερικό των συστημάτων προκαλώντας, γιγαντιαίες αλλαγές, την ώρα που γιγαντιαίες δυνάμεις μπορεί ν’ αφήνουν τα συστήματα ανέπαφα.

Το φτερούγισμα μιας πεταλούδας στην Αθήνα μπορεί λοιπόν να προκαλέσει καταιγίδα στο Τόκιο – αλλά το θέμα δεν είναι αυτό. Είναι ότι με τις νέες θεωρίες, ο άνθρωπος φτάνει στο σημείο να συνειδητοποιήσει ότι η έννοια του ελέγχου με την επιβολή ισχύος είναι ψευδαίσθηση. Η εντύπωση ότι η φύση ελέγχεται μέσω δύναμης είναι μια πλάνη. Η καθοδήγηση των μαζών; Η στάση-πράξη του ενός μπορεί να είναι αίτιο πρόκλησης παράξενου ελκυσμού;

Τώρα όλα μπορούν να ειδωθούν ως χάος. Χάνονται και ξαναβρίσκονται καινούρια. Η πορεία του κόσμου δεν είναι μια προβλέψιμη κίνηση, αλλά μια τεθλασμένη γραμμή που διαρκώς λυγίζει από το τυχαίο και δεν μπορεί ποτέ να γυρίσει προς τα ασφαλή μετόπισθεν. Είναι ένα ποτάμι χωρίς επιστροφή. Ο Ηράκλειτος επιβεβαιώνεται επιστημονικά σε βάθος.

Η μεταφορά της θεωρίας του χάους απαιτεί μεγάλη προσοχή. Δεν είναι πανάκεια που θεωρεί αυταπόδεικτη κάθε έλλειψη τάξης ούτε και λειτουργεί ηθικολογικά εναντίων του ελέγχου. Τουναντίον, η θεωρία του χάους έχει φτιαχτεί για να επιτευχθεί ακόμη μεγαλύτερος έλεγχος πάνω σε κάθε λογής συστήματα. Κατάφερε όμως να μας εξελίξει συνειδησιακά. Μας έδωσε την δυνατότητα να αντιληφθούμε με επιστημονικό τρόπο την ροϊκότητα των πραγμάτων και να συνειδητοποιήσουμε την σημαντικότητα των μικρών τοπικών επιρροών σε καθολικά συστήματα. Έτσι κάθε μικρή δράση αποκτά μεγάλη σημασία και μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι η ευθύνη περνά σε μεγαλύτερο βαθμό στην ατομική πράξη από ότι φανταζόμασταν παλαιότερα.

Ιδρυτής της θεωρίας του χάους θεωρείται ο Γάλλος μαθηματικός Μπενουά Μαντελμπρό. Αυτός εφεύρε την μορφοκλασματική γεωμετρία (Fractal geometry), η οποία δίπλα στις καθαρές και συγκεκριμένες γραμμές της ευκλείδειας γεωμετρίας, εισάγει την έννοια της κλασματικής διάστασης που μας επιτρέπει να μετρήσουμε την αταξία, και το ακανόνιστο ενός αντικειμένου.

Είναι μια γεωμετρία, που μπορεί να αναπαραστήσει τις ατέλειωτες αντιθέσεις και στρεβλώσεις των φυσικών μορφών (της πλαγιάς ενός ηφαιστείου, του φύλλου μιας φτέρης, του πνεύμονα ενός εμβρύου κοκ) στην οθόνη ενός υπολογιστή.

Παρόλο που η θεωρία του χάους δημιουργήθηκε για να επιτευχθεί έλεγχος σε συστήματα που παρουσίαζαν ανεξέλεγκτη συμπεριφορά, τα αποτελέσματά της σε σχέση με τον έλεγχο αποκαλύπτουν μια καινούρια πτυχή στην έννοια του ελέγχου. Φανερώνεται ότι δεν μπορεί να υπάρξει έλεγχος σε απόλυτο βαθμό πουθενά. Η αντίληψη του τι είναι έλεγχος μετουσιώνεται. Η θεωρία του χάους προτείνει μια πιο ευέλικτη στάση, σύμπλευση με τις φυσικές διαδικασίες, σεβασμό στην αξία του τοπικού και του αμελητέου. Ανοίγει πύλη στην αλληλεπίδραση στοιχείου, συνόλου. Εξισορροπεί την ακόρεστη ανάγκη για καθολικό έλεγχο.

Όλη αυτή η δομή σκέψης και πράξης επιδρά στην αντίληψη περί ελευθερίας. Η έννοια της ελευθερίας σε συνδυασμό με την αντίστοιχη υπευθυνότητα διευρύνεται. Το άτομο μπορεί να νιώσει πιο ελεύθερο, αφού πιστεύει ότι με την πράξη του, με το είναι του συμμετέχει στην διαμόρφωση της πραγματικότητας. Από την άλλη μπορεί να επωμισθεί την ευθύνη της υπόστασής του, της ύπαρξής του απέναντι στην ζωή και το σύνολο.

Αυτές οι σκέψεις είναι άξιες να μας επηρεάσουν. Μπορούν να αλλάξουνε την στάση μας και να βελτιώσουν την πράξη μας. Η τέχνη της μεταμόρφωσης του εαυτού ώστε να μπορεί να συνεισφέρει στο κοινό καλό είναι μια επίπονη αλλά πολύ ελκυστική διεργασία. Τίποτε από όλα αυτά δεν αποδεικνύεται. Είναι αξιωματικές και αυθαίρετες σκέψεις με περιεχόμενο πίστης που εμπνέονται από την θεωρία του χάους. Δίνουν χρηστική ερμηνεία στην κοινωνική-συνειδησιακή μεταφορά του χάους.

 

Advertisements